\(B\) e \(C\) sono due punti distinti su una circonferenza \(\Gamma\) di centro \(A\). Detto \(M\) il punto medio di \(AC\), sia \(G\) l'intersezione tra \(\Gamma\) e la retta \(BM\), \(H\) l'intersezione tra \(\Gamma\) e la perpendicolare ad \(AC\) passante per \(B\). Detta \(X\) l'intersezione tra le rette \(GH\) ed \(AC\), si provi che \(AC=CX\).

Due approcci interessanti per la risoluzione del problema:

Potresti spiegarmi un'attimo cos'hai fatto nella seconda soluzione? Come tiri fuori i determinanti? Che strumento stai usando?

scusa per l'ignoranza

Non c'è da scusarsi, è un'ottima occasione per divulgare un po' d'utile algebra lineare.

Sto utilizzando il seguente fatto: tre punti nel piano con coordinate \((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) sono allineati se e solo se \(\det((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))=0\). Supponiamo infatti che \((x_2,y_2)\) appartenga al segmento di estremi \((x_1,y_1),(x_3,y_3)\) e si abbia \((x_2,y_2)=\lambda(x_1,y_1)+(1-\lambda)(x_3,y_3)\): in tal caso, la seconda riga della matrice è combinazione lineare della prima e della terza, dunque il determinante è nullo. Viceversa, se il determinante della matrice è nullo, esiste un vettore avente somma delle coordinate pari a \(1\) nel nucleo dell'applicazione lineare associata, il che significa che uno dei punti è combinazione convessa degli altri due, dunque allineato con questi.

La cosa si può vedere anche nel seguente modo: immergo \(\mathbb{R}^2\) in \(\mathbb{R}^3\cap\{z=1\}\) portando \((x_i,y_i)\) in \((x_i,y_i,1)\). I tre punti in partenza sono allineati se e solo se il volume del simplesso in \(\mathbb{R}^3\) avente vertici in \((0,0,0),(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)\) è nullo, ma è ben noto il legame tra il volume di un simplesso e il determinante (sono la stessa cosa a meno di un fattore di proporzionalità che dipende unicamente dalla dimensione).