Procediamo per assurdo. Supponiamo che per un certo (gargantuesco) numero naturale \(N\), ogni scelta di un sottoinsieme \(\{n_1,\ldots,n_{2015}\}\subset[1,N]\) di cardinalità \(2015\) dia luogo a un differente intero \(n_1^{2014}+\ldots+n_{2015}^{2014}\). Poiché ognuno di questi interi è minore di \(2015\cdot N^{2014}\), deve aversi: \[\binom{N}{2015}\leq 2015\cdot N^{2014}.\] Tuttavia, tale disuguaglianza è certamente falsa se, ad esempio, \(N>2016!+2015^2\), in quanto in tal caso: \[\binom{N}{2015}>\frac{(N-2015)^{2015}}{2015!}>2015\cdot(N-2015)^{2014}\cdot\frac{N-2015}{N-2015^2},\]\[2015\cdot(N-2015)^{2014}\cdot\frac{N-2015}{N-2015^2}>2015\cdot(N-2015)^{2014}\left(1+\frac{2015}{N-2015}\right)^{2014}=2015\cdot N^{2014}.\]
Dove ci siamo avvalsi della disuguaglianza \(\frac{1}{1-x}>1+x\) certamente valida per \(|x|<1\). Anche senza quantificare esplicitamente una soglia critica per \(N\), il binomiale \(\binom{N}{2015}\) è un polinomio di grado \(2015\) nella variabile \(N\) con coefficiente di testa positivo, mentre \(2015\cdot N^{2014}\) è un polinomio di grado \(2014\), per cui è certo che da un qualche valore di \(N\) in poi il valore del primo superi quello del secondo.