2014

Maggio 2014 - problema 2

Dato nel piano un quadrilatero convesso \(ABCD\), si denotino con \(\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4\) i triangoli aventi vertici nei punti medi dei lati di \(BCD,ACD,ABD,ABC\) rispettivamente, e con \(\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4\) le circonferenze circoscritte a \(\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4\). Si provi che esiste un punto \(P\) comune a tutte e quattro le circonferenze \(\Gamma_i\).


Livello di difficoltà: Yak da traino
Punteggio difficoltà: 50



L'unica soluzione pervenuta è quella di npick, che con una zampata felina si è portato in testa alla classifica a punti.
Riportiamo fedelmente la sua soluzione, che procede per angle chasing una volta constatato che i punti medi dei lati di \(ABCD\) determinano un parallelogramma.

Vi invitiamo tuttavia a riflettere sui seguenti punti:
1) Se \(A,B,C\) determinano un triangolo nel piano, il centro di qualunque iperbole equilatera per \(A,B,C\) appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo mediale di \(ABC\);
2) Se \(A,B,C,D\) sono i vertici di un quadrilatero convesso nel piano, esiste un'unica iperbole equilatera per \(A,B,C,D\).

Ringrazio i ragazzi della classe 4A del Liceo Dini di Pisa per aver contribuito alla genesi di questo problema.