2014

Giugno 2014 - Problema 1

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Categoria: 2014
Pubblicato Martedì, 03 Giugno 2014 21:21
Scritto da Jacopo DAurizio
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In un triangolo \(ABC\), siano \(a,b,c\) le lunghezze dei lati \(BC,AC,AB\); \(m_a,m_b,m_c\) le lunghezze delle mediane uscenti dai vertici \(A,B,C\) e \(\Delta\) l'area di \(ABC\). Si dimostri che vale:
\[ am_a + bm_b + cm_c \geq \Delta\cdot\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{a^2+c^2}{ac}+\frac{b^2+c^2}{bc}\right). \]

Livello di difficoltà: Yak da traino
Punteggio difficoltà: 50


Una soluzione parziale di questo problema ci è stata inviata da Gottinger. Un possibile approccio è sfruttare le identità
\[\Delta = \frac{abc}{4R},\qquad  m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\]
e completare i quadrati. Potete trovare una soluzione completa su StackExchange.